Catalan è stato un matematico belga dell’Ottocento, appassionato di geometria, matematica combinatoria e teoria dei numeri. E proprio in quest’ultimo interessante ambito di studio si inseriscono i numeri di Catalan, che nella guida impariamo a costruire.

Questo speciale tipo di numeri è particolarmente apprezzato e utilizzato nell’approccio e risoluzione di problemi combinatori e geometrici. Ora ti mostrerò come costruirli in funzione di una formula che utilizza il concetto di fattoriale, il cui simbolo è un punto esclamativo posizionato a destra del numero di cui calcolare il fattoriale stesso. Ti ricordo che il fattoriale di un numero è il prodotto del numero stesso per tutti i numeri interi e positivi che gli sono inferiori. Ad esempio se devi calcolare il fattoriale del numero 3, devi solo moltiplicare tra loro 3 e 2, ottenendo 6.

Tornando ai numeri di Catalan, devi decidere da quale numero (che chiami n) partire con i calcoli necessari. Prendi il numero n e raddoppialo, poi calcola il fattoriale di questo doppio. Se inizi con n uguale a 3, ottieni come doppio 6 e poi quando calcoli 6, ottieni come risultato 720. Chiama questo risultato A.

Ora devi calcolare il fattoriale di n e il fattoriale del numero successivo a n. Nel tuo caso, quindi, devi ricavare i fattoriali dei numeri 3 e 4, che valgono, rispettivamente, 6 e 24. Poi moltiplicali tra loro e definisci tale prodotto con la lettera B. In questo esempio B vale 144. Per finire devi solo dividere A per B. Grazie ai calcoli di questa guida questo rapporto vale 5, che quindi è un numero di Catalan.

Il dodecagono è un poligono caratterizzato da 12 lati uguali, e 12 angoli con un ampiezza di 150° ciascuno. La sua costruzione non è per nulla complicata, anzi, è possibile definirla più semplice di quella di altri poligoni con un numero minore di lati. Vediamo in questa guida come procedere.

Traccia il diametro “CD” della circonferenza in cui andrai ad inscrivere il dodecagono. Prosegui, quindi, a tracciare la perpendicolare a CD passante per il suo punto medio. A questo scopo prendi il compasso ed impostane l’apertura con un valore a piacere comunque maggiore di quella dell’ipotetico centro.

Puntalo dapprima su “C” e poi su “D” tracciando due curve che si incroceranno in 2 punti. Traccia la retta passante per questi punti, ed avrai la perpendicolare al diametro passante per il suo punto medio. Punta il compasso su “O” con apertura fino a “C” e traccia la circonferenza. Individua quindi i due punti “A” e “B”.

Con la medesima apertura punta il compasso su “A” e traccia una semicirconferenza che vada ad incrociare la circonferenza in 2 punti. Fai lo stesso anche per i punti “B”, “C” e “D”. Hai individuato in questo modo 8 punti. Congiungili utilizzando un righello e la penna a china. Hai così costruito il tuo dodecagono inscritto nella circonferenza.

Il decagono è una figura geometrica formata da dieci lati e dieci angoli di uguale misura, come suggerisce anche il termine. Costruirlo non è molto complicato. Vediamo in questa guida come procedere, passo passo, alla costruzione di un decagono inscritto all’interno di una circonferenza.

Traccia il diametro della circonferenza “PR”. Procedi a tracciare la perpendicolare passante nel punto medio dello stesso. Per fare questo prendi il compasso e con apertura maggiore rispetto all’ipotetico centro, punta su P e traccia un semicerchio. Fai la stessa cosa puntando il compasso su R. I due semicerchi si incontrano in 2 punti. Uniscili ed avrai ottenuto la perpendicolare al diametro. Indica con “O” il punto centrale.

Centrando il compasso su “O” traccia la circonferenza con apertura “OP” e definisci gli altri punti come “A ” e “B”. Punta il compasso su “P” con un’apertura pari al raggio della circonferenza. Descrivi un arco che incontri quest’ultima in 2 punti, che chiamerai “S” e “T”. Unisci questi con un segmento, ed individua il punto “1” su “PR”.

Punta il compasso in 1 con apertura sino ad “O” e traccia una circonferenza intera, tangente alla “principale”. Unisci il punto “1” con il punto “A” e definisci come “K” il punto in cui questo segmento incontra la precedente circonferenza. Prendi con il compasso la misura che intercorre tra i punti “A” e “K” e riportala sulla circonferenza 9 volte a partire da “A”. Nomina i vari punti. Unisci i punti con una penna a china per evidenziare la figura. Hai cosi costruito il decagono inscritto nella circonferenza.

L’esadecagono è un poligono regolare composto da un totale di 16 lati, e di conseguenza 16 angoli. La sua costruzione non è molto complicata, e viene fatta mediante inscrizione all’interno di una circonferenza. Vediamo, in questa guida, come procedere.

Traccia il segmento orizzontale “AB”, ricordando che esso sarà il diametro della circonferenza all’interno della quale verrà costruito l’esadecagono. Trova il punto medio “O”. A questo scopo punta il telecomando in “A” con apertura maggiore ad “AO” ed individua due archi al di sopra ed uno al di sotto del segmento stesso. Unisci i punti “1” e “2” e trovi il punto medio. Punta in “O” con apertura “OA” e traccia la circonferenza, individuando anche i punti “C” e “D”.

Costruisci l’esagono all’interno della stessa, individuando gli ulteriori punti sulla stessa, ovvero “E”, “F”, “G”, “H”. Trova, quindi, la bisettrice di “EOB”. A questo scopo punta il compasso in “O” con apertura a piacere ed individua i punti “4” e “5”. Punta poi in questi ad intersecare due archi da unire poi con “O”.

Individua, in questo modo il punto “I”. Prendi la misura che intercorre tra “E” ed “I” e riportalo sulla circonferenza puntando sui vertici dell’esagono precedentemente tracciato. Individui così ulteriori punti sulla circonferenza. Uniscili tra loro servendoti della penna a china, ed avrai così costruito l’esadecagono regolare.

Un ennagono è un poligono caratterizzato, come dice il nome stesso, dall’avere 9 lati tutti identici in lunghezza e 9 angoli tutti di 140°. Effettuarne la costruzione non è molto complicato. Risulta essere sufficiente partire da una circonferenza ed eseguire alcuni tipici passaggi per dividere quest’ultima in 9 parti uguali. Vediamo come procedere.

Traccia il raggio della circonferenza denominandone gli estremi “OP”. Procedi descrivendo anche il diametro di tale circonferenza, considerato che il raggio corrisponde alla metà del diametro stesso. Indicane l’estremità con “A”. Punta il compasso in “O” con apertura OP e traccia la circonferenza.

Punta il compasso in B, mantenendo la misura del raggio, e traccia un semicerchio che incroci la circonferenza stessa in 2 punti. Nomina questi come “B” e “C”. Unisci questi 2 punti, ed individua sul diametro “AP” il punto “1”. Prolunga un pò la parte superiore della retta passante per B e C. Centra il compasso in 1, con apertura sempre uguale al raggio, e costruisci una curva che vada ad intersecare la retta nel punto “R”.

Con la medesima apertura, punta il compasso in R ed ottieni una sezione di circonferenza che partendo dal punto 1 va ad intersecare in un punto la sezione precedente. Hai, cosi, individuato il punto 2. Unisci quest’ultimo con “O” e definisci come “D” il punto in cui questo segmento incontra la circonferenza. Con il compasso prendi la misura corrispondente al tratto “BD” e riportala lungo tutta la circonferenza. Individui in questo modo i 9 punti equidistanti tra loro. Prendi la penna a china e unisci questi punti, nominandoli. Hai cosi costruito l’ennagono.