Un grafo è la rappresentazione visuale di un insieme di elementi, detti ‘nodi’, collegati tra loro da rette o curve, chiamate ‘archi’. Spesso un grafo per essere analizzabile da un punto di vista astratto, o anche solo informatico, necessita di essere trasformato in un insieme di matrici che riassume fedelmente le caratteristiche di partenza. Nella guida vediamo come proprio come costruire la versione matriciale di un grafo.

Ti dico subito che dovrai costruire esattamente due matrici per raccogliere tutte le informazioni originariamente contenute nel tuo grafo di partenza. Esse sono la matrice di distanza e la matrice degli archi. Ipotizza adesso di considerare un grafo così strutturato: il nodo 1 è collegato al nodo 2 da un arco che riproduce una distanza di 7 unità, il nodo 2 è collegato al nodo 3 da un arco che riporta una distanza di 4 unità. Infine il nodo 2 è collegato anche al nodo 4 da un arco che definisce una distanza tra i due nodi di 5 unità.

Le matrici che ti appresti ora a popolare sono tutte quadrate e dotate di un lato costituito da tanti elementi quanti sono i nodi in totale. Nel tuo caso, quindi, avrai due matrici quadrate 4 x 4. Per costruire la matrice di distanza devi semplicemente posizionare nell’elemento (i,j) (cioè riga i-ma e colonna j-ma) della matrice la distanza che separa il nodo i dal nodo j. Secondo il grafo descritto a inizio guida puoi quindi valorizzare l’elemento (1,2) di questa matrice con 7, l’elemento (2,3) con 4 e l’elemento (2,4) con 5. Avrai intuito che questo tipo di matrice è simmetrica, quindi l’elemento (i,j) è uguale a quello (j,i).

Dedicati ora alla costruzione della matrice degli archi. Per farlo è sufficiente che valorizzi ogni suo elemento (i,j) con un valore unitario nel caso in cui puoi verificare la presenza di un arco tra il nodo i e il nodo j e con un valore nullo in caso di relativa assenza. Quindi puoi proporre le seguenti valorizzazioni: elemento (1,2) = 1, elemento (2,3) = 1, elemento (2,4) = 1, data la presenza degli archi tra i nodi indicati. Anche questa è una matrice simmetrica. Una volta valorizzati gli elementi simmetrici, tutti i restanti li devi rappresentare con valori nulli. Quindi, ad esempio, è corretto che indichi l’elemento (1,3) = 0 nella tua matrice degli archi, dato che non esiste un arco che colleghi direttamente il nodo 1 al nodo 3.

La sequenza di Padovan è stata attribuita a Richard Padovan, architetto della seconda metà del Novecento, sebbene originariamente la stessa sequenza sembra fosse stata attribuita dallo stesso Padovan ad un altro scopritore, di origini olandesi. Essa assume rilevanza in diversi campi del sapere, piuttosto eterogenei tra loro, come, ad esempio, quello matematico-combinatorio e geometrico. Nella guida vediamo dettagliatamente come costruire la sequenza di Padovan.

In termini combinatori l’elemento n-esimo della sequenza rappresenta il numero di modi possibili di sommare tra loro i numeri 2 e 3 per ottenere il numero n aumentato di uno. La prima cosa che devi sapere per costruire questa sequenza è che i suoi primi tre elementi sono uguali a 1 e poi devi applicare una semplice regola che utilizza gli elementi già noti.

Poi per costruire il quarto elemento devi prendere in considerazione il primo elemento (che vale 1) e il secondo (che vale 1 anch’esso) e sommarli tra loro. Ottieni quindi il numero 2 che rappresenta il quarto elemento della sequenza di Padovan. Questa sequenza è ovviamente infinita e ricorrente, in quanto sfrutta i valori degli elementi conosciuti per dedurne dei nuovi.

Per proseguire devi ricordare questa regola di generazione: cerca il valore dell’elemento che dista tre posti all’indietro rispetto a quello che stai correntemente calcolando e sommalo con il penultimo finora calcolato. Quindi, proseguendo, quando devi calcolare il quinto elemento devi sommare il valore del secondo e del terzo, ottenendo ancora 2. Puoi verificare facilmente che il sesto elemento vale invece 3. Con la stessa regola puoi proseguire la costruzione della sequenza analizzata.

Il diagramma di Gantt, dal nome dello studioso che l’ha ideato, è uno schema molto utile utilizzabile come cronoprogramma. Solitamente si utilizza per definire l’inizio e la fine delle attività i un progetto e quindi nel Project Planning. Ovviamente può essere usato anche con altri fini. In questa guida vediamo come farlo.

Il diagramma di Gantt è stato ideato dall’ingegnere omonimo nel 1917. Come spiegato nell’introduzione tale schema è utilissimo per descrivere l’arco temporale delle attività di un progetto. Si tratta quindi di un vero e proprio cronoprogramma che ci da modo di rappresentare graficamente delle scadenze di inizio e fine attività. L’ideazione dello schema non è troppo difficile, al più può essere problematica la rappresentazione grafica al computer.

Il diagramma di Gantt rappresenta il tempo su un asse orizzontale. Su quest’asse il tempo è rappresentato in fasi incrementali (cioè di durata via via superiore.. ore, giorni, settimane, mesi anni, ecc). L’intera durata del progetto deve essere quindi riportata sull’asse orizzontale. Sull’asse verticale invece si riportano le attività da realizzare nell’ambito del progetto. Nello spazio di intersezione si creerà quindi una griglia.

In tale schema le attività vengono indicate con barre orizzontali colorate. Le barre verranno collocate all’altezza dell’attività che si intende descrivere e avranno inizio e fine corrispondenti alle date di inizio e fine attività nell’asse orizzontale. Anche i colori delle barre possono essere usate per suddividere le attività in gruppi se poi vengono descritti con un apposita legenda collocata esternamente al diagramma.

Catalan è stato un matematico belga dell’Ottocento, appassionato di geometria, matematica combinatoria e teoria dei numeri. E proprio in quest’ultimo interessante ambito di studio si inseriscono i numeri di Catalan, che nella guida impariamo a costruire.

Questo speciale tipo di numeri è particolarmente apprezzato e utilizzato nell’approccio e risoluzione di problemi combinatori e geometrici. Ora ti mostrerò come costruirli in funzione di una formula che utilizza il concetto di fattoriale, il cui simbolo è un punto esclamativo posizionato a destra del numero di cui calcolare il fattoriale stesso. Ti ricordo che il fattoriale di un numero è il prodotto del numero stesso per tutti i numeri interi e positivi che gli sono inferiori. Ad esempio se devi calcolare il fattoriale del numero 3, devi solo moltiplicare tra loro 3 e 2, ottenendo 6.

Tornando ai numeri di Catalan, devi decidere da quale numero (che chiami n) partire con i calcoli necessari. Prendi il numero n e raddoppialo, poi calcola il fattoriale di questo doppio. Se inizi con n uguale a 3, ottieni come doppio 6 e poi quando calcoli 6, ottieni come risultato 720. Chiama questo risultato A.

Ora devi calcolare il fattoriale di n e il fattoriale del numero successivo a n. Nel tuo caso, quindi, devi ricavare i fattoriali dei numeri 3 e 4, che valgono, rispettivamente, 6 e 24. Poi moltiplicali tra loro e definisci tale prodotto con la lettera B. In questo esempio B vale 144. Per finire devi solo dividere A per B. Grazie ai calcoli di questa guida questo rapporto vale 5, che quindi è un numero di Catalan.

Il dodecagono è un poligono caratterizzato da 12 lati uguali, e 12 angoli con un ampiezza di 150° ciascuno. La sua costruzione non è per nulla complicata, anzi, è possibile definirla più semplice di quella di altri poligoni con un numero minore di lati. Vediamo in questa guida come procedere.

Traccia il diametro “CD” della circonferenza in cui andrai ad inscrivere il dodecagono. Prosegui, quindi, a tracciare la perpendicolare a CD passante per il suo punto medio. A questo scopo prendi il compasso ed impostane l’apertura con un valore a piacere comunque maggiore di quella dell’ipotetico centro.

Puntalo dapprima su “C” e poi su “D” tracciando due curve che si incroceranno in 2 punti. Traccia la retta passante per questi punti, ed avrai la perpendicolare al diametro passante per il suo punto medio. Punta il compasso su “O” con apertura fino a “C” e traccia la circonferenza. Individua quindi i due punti “A” e “B”.

Con la medesima apertura punta il compasso su “A” e traccia una semicirconferenza che vada ad incrociare la circonferenza in 2 punti. Fai lo stesso anche per i punti “B”, “C” e “D”. Hai individuato in questo modo 8 punti. Congiungili utilizzando un righello e la penna a china. Hai così costruito il tuo dodecagono inscritto nella circonferenza.