Il teorema di Rolle è uno degli argomenti che più compaiono nei quesiti dell’esame di maturità, nella seconda prova di matematica. Saperlo quindi è fondamentale per una buona riuscita dell’esame. Con questa guida vedrai i passaggi da seguire per la risoluzione di funzioni mediante tale teorema matematico.
Prima di parlare del teorema di Rolle, è importante evidenziare la seguente osservazione: data una funzione y = f(x) derivabile in un punto x0, se x0 è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione, allora la derivata prima della funzione si annulla in x0. Sapere ciò prima di capire come funziona il teorema di Rolle è fondamentale. Ma devi anche sapere concetti base dell’analisi matematica, come il concetto di derivabilità, continuità e massimo e minimo di una funzione.
Ora, il teorema di Rolle dice che, se hai una funzione y = f(x), la quale funzione è derivabile in un determinato intervallo aperto ] a;b [, è continua nel determinato intervallo chiuso [ a;b ] e assume valori uguali in tali estremi, allora, in questo intervallo (a;b) ci sarà sicuramente un punto c in cui la derivata di f(x) si annulla. Ora occorre chiarire i passaggi e il significato geometrico di tale teorema.
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Per svolgere un eventuale esercizio, i passaggi che dovrai svolgere sono questi: per prima cosa, controlla se la funzione f(x) sia derivabile in ] a;b [, poi se è continua in [ a;b ] e infine se f(a) = f (b). Per quest’ultimo passaggio è chiaro che tu debba sostituire alla x di f(x) prima il valore di un estremo dell’intervallo dato e poi il secondo estremo, e verificare se ciò che ottieni è uguale. Solo una volta soddisfatte le premesse puoi passare alla parte conclusiva dell’esercizio, ovvero trovare il punto c in cui si annulla f(x).
Ora sai di sicuro che c’è un punto in (a;b) in cui la funzione prende il valore 0. Per trovare il valore di c non ti resta che imporre la f(x), ovvero la y, uguale a zero, e trovare il valore di x che ti esce. Quel valore, è il valore di c che stavi cercando. Dal punto di vista geometrico, la funzione si annulla perché, le funzioni derivabili e continue ammettono per forza che vi sia un punto in qui la derivata valga zero, ovvero un punto in cui la tangente alla funzione sia parallela all’asse x, nonché con coefficiente angolare pari a zero.